會計自考《線性代數》復習資料 - 下載本文

第一章行列式 1.1行列式的定義

1.1.1二階行列式與三階行列式 ? 用加減消元法解二元一次方程組:

?????????????????????????+??????????=???? ??????(1.1)得方程組的唯一解為:x1= ??????????+??????????=?????????????????????????????

x2=

??????????????????????????????????????????????

?? ??? 為了便于記憶方程組(1.1)的解,引入記號D2= =ad-bc,稱之為二階行列式

c d這樣,二元一次方程組(1.1)的解可以用二階行列式表示為

???? ?????? ??????????x1=???????? ????????

????????

???? ?????? ??????????x2=????????

???????? ????????

? 在討論三元一次方程組時,引入三階行列式這一工具,三階行列式定義為

??11??12??13

D3= ??21??22??23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32

??31??32??33

? 特殊的行列式(稱為三角行列式) ?? ???? 0?? 0?? ??0 ??0 ?? = = =ad = = =—bc 0 dc d0 dc 0c dc 0?? ? ??? 0 0 ? ? ??0 0 ??

0 b ? = ? ?? 0 =abc ? b 0 = 0 b ? =—abc 0 0 c? ? cc 0 0?? ? ?? 二階行列式和三階行列式的關系:

??11??12??13

??22??23??12??13??12??13

D3= ??21??22??23 =??11 ???? —??21 ???? +??31 ???? (1.2)

323332332223

??31??32??33

引進如下三個二階行列式:

??22??23??12??13??12??13M11= ???? M21= ???? M31= ????

323332332223

記Ai1=(-1

)i+1

Mi1 (i=1,2,3),即A11=M11,A21=-M21,A31=M31稱Mi1為元素????1在D3中的余子式,稱Ai1為元素????1在D3中的

代數余子式,由公式(1.2)可以知道三階行列式的計算公式可以簡寫成 D3=??11M11-??21M21+??31M31=??11A11+??21A21+??31A31 把它稱為D3按其第一列的展開式,簡寫為

3??+1

D3= 3????1????1 ???1????1????1= ??=1(?1)

1.1.2 n階行列式 定義1.1.1

Dn=a11A11+ a21A21+…+ an1An1此式稱為Dn按第一列的展開式,由余子式和代數余子式的關系可得 Dn=a11M11—a21M21+…+(-1)n+1 an1Mn1 ? 上三角行列式和下三角行列式

1、上三角行列式

??1 ? ? ???2 … ?

Dn= ? ? =??1??2…????

????2、下三角行列式

? ??2

? ? ?? ? … ????

1.2行列式按行(列)展開

定理1.2.1(行列式展開定理)

1、D按第i行的展開式=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=(-1) ai1Mi1+(-1) ai2Mi2+…+(-1) ainMin(i=1,2,…,n) 2、D按第j列的展開式= a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj=(-1) a1jM1j+(-1) a2jM2j+…+(-1) anjMnj(j=1,2,…,n)

1.3行列式的性質與計算

1.3.1行列式的性質

性質1行列式和它的轉置行列式相等,即D=DT

性質2用數k乘行列式D中某一行(列)的所有元素所得到的行列式等于kD,行列式可以按行和按列提出公因數 注意必須按行或按列逐次提出公因數

? 任意一個奇數階反對稱行列式必為0,反對稱行列式指的是,其中主對角線上的元素全為0,而以主對角線為

軸,兩邊處于對稱位置上的元素異號,即若D=|aij|n是反對稱行列式,則它滿足條件aij=—aij,i,j=1,2,…,n 性質3互換行列式的任意兩行(列),行列式的值改變符號 推論如果行列式中有兩行(列)相同,則此行列式的值等于0

性質4如果行列式中某兩行(列)的對應元素成比例,則此行列式的值等于0 性質5行列式可以按行(列)拆開(應當逐行、逐列拆開)=

性質6把行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以一個數以后加到另一行(列)的對應元素上去,所得的行列式仍為D

定理1.3.1 n階行列式D=|aij|n的任意一行(列)各元素與另一行(列)對應元素的代數余子式的乘積之和等于0 1.3.2行列式的計算

1.4克拉默法則

定理1.4.1

? 含有n個方程的n元線性方程組的一般形式為 ??11??1+??12??2+?+??1??????=??1????+??22??2+?+??2??????=??2 211(1.3) …………………………………………????1??1+????2??2+?+??????????=????它的系數構成的n階行列式

1+j

2+j

n+j

i+1

i+2

i+n

Dn=

??11??12…??1????21??22…??2??

D= ? ? ? 稱為方程組(1.3)的系數行列式 ????1????2…??????

定理1.4.2(克拉默法則)如果n個方程的n元線性方程組(1.3)的系數行列式D=|aij|n≠0,則方程組(1.3)必有唯一解,Xj=

??????

,j=1,2,…,n,其中Dj是將系數行列式D中第j列元素a1j,a2j,…,anj對應地換為方程組的常數

項b1,b2,…,bn得到的行列式。

說明:在用克拉黙法則求解線性方程組時,要求方程的個數與未知量的個數相等 ? 如果n元線性方程組(1.3)的常數項b1,b2,…,bn均為零,即 ??11??1+??12??2+?+??1??????=0????+??22??2+?+??2??????=0 211則稱之為齊次線性方程組 …………………………………………????1??1+????2??2+?+??????????=0

定理1.4.3如果齊次線性方程組的系數行列式D≠0,則它只有零解。Xj=因此Dj=0,所以齊次線性方程組僅有零解。

? n個方程n個未知量的齊次線性方程組只有零解當且僅當它的系數行列式不等于零;它有非零解當且僅當它的

系數行列式等于零。

第二章矩陣

2.1線性方程組與矩陣的定義

2.1.1線性方程組

含n個未知量的線性方程組稱為n元線性方程組,它的一般形式為 ??11??1+??12??2+?+??1??????=??1????+??22??2+?+??2??????=??2 211 (2.1) …………………………………………????1??1+????2??2+?+??????????=????

方程的個數m與未知量的個數n可以相等,也可以m>n或m

(1)把一個方程的倍數加到另一個方程上 (2)互換兩個方程的位置 (3)用一個非零數乘某一個方程

? 對于一個線性方程組可以只寫出它的系數和常數項,并把它們按原來的次序排成一張表,這張表稱為線性方程

組的增廣矩陣。只列出方程組中未知量系數的表稱為方程組的系數矩陣。 2.1.2 矩陣的概念

定義2.1.1由m×n個數aij(i=1,2…,m;j=1,2,…,n)排成的一個m行n列的數表稱為一個m行n列矩陣。通常用大寫字母A,B,C等表示矩陣,當m=n時,稱A=(aij)m×n為n階矩陣,或者稱為n階方陣。只有一階方陣才是一個數。一個n階方陣A從左上角到右下角的這條對角線稱為A的主對角線。n階方陣的主對角線上的元素

??????

,由于行列式Dj的第j列元素全為零,

a11,a12,…,ann,稱為此方陣的對角元。在本課程中,對于不是方陣的矩陣,我們不定義對角元。 當m=1時,稱α=(a1,a2,…,an)為n維行向量,它是1×n矩陣 ??1??

當n=1時,稱β= 2 為m維列向量,它是m×1矩陣

?????? 幾種常用的特殊方陣 1、n階對角矩陣,必須是方陣

2、數量矩陣:對角矩陣的主對角線上的元素都相同。當元素等于1時,稱它為n階單位矩陣,記為En或In 3、n階上三角矩陣和n階下三角矩陣

2.2 矩陣運算

2.2.1 矩陣的相等

定義2.2.1設A=(aij)m×n,B=(bij)k×l,若m=k,n=l且aij=bij,則稱矩陣A與矩陣B相等,記為A=B。兩個矩陣相等指的是,它們的行數相同,列數也相同,而且兩個矩陣處于相同位置(i,j)上的一對數都必須對應相等 2.2.2 矩陣的加、減法

定義2.2.2設A=(aij)m×n,B=(bij)m×n是兩個m×n矩陣,由A與B的對應元素相加所得到的一個m×n矩陣,稱為A與B的和,記為A+B。

注:當兩個矩陣A與B的行數與列數分別相等時,稱它們是同型矩陣,只有當兩個矩陣是同型矩陣時,它們才可以相加。

? 由定義2.2.2知矩陣的加法滿足下列運算律: 設A,B,C都是m×n矩陣,O是m×n零矩陣,則 (1)交換律A+B=B+A

(2)結合律(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+O=O+A=A

(4)消去律A+C=B+C?A=B

A的負矩陣,記為—A,顯然有A+(—A)=(—A)+A=O,由此可以定義矩陣的減法為A—B=A+(—B) 2.2.3 數乘運算 數乘運算律

(1)結合律(kl)A=k(lA)=klA,k和l為任意實數

(2)分配律k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA,k和l為任意實數 2.2.4 乘法運算

定義2.2.4設矩陣A=(aij)m×k,B=(bij)k×n,令C=(cij)m×n是由下面的m×n個元素

Cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj構成的m行n列矩陣,稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積,記為C=AB

由此定義可以知道,兩個矩陣A=(aij)和B=(bij)可以相乘當且僅當A的列數與B的行數相等,當C=AB時,C的行

數=A的行數,C的列數=B的列數,C的第i行第j列元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應元素的乘積之和。 由矩陣乘法可知:

(1)單位矩陣與任意一個同階方陣的乘積必可交換 (2)數量矩陣與任意一個同階方陣的乘積必可交換 (3)在一般情形下,矩陣的乘法不滿足交換律

(4)當AB=O時,一般不能退出A=O或B=O,這說明矩陣乘法不滿足消去律 若矩陣A與B滿足AB=BA,則稱A與B可交換,此時A與B必為同階方陣。

? 矩陣乘法不滿足消去律,并不是說任意兩個方陣相乘時,每一個方陣都不能從矩陣等式的同側消去,被稱為可

逆矩陣的方陣一定可以從矩陣等式同側消去。 乘法運算律

(1)矩陣乘法結合律(AB)C=A(BC)

(2)矩陣乘法分配律(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC (3)兩種乘法的結合律k(AB)=(KA)B=A(KB) (4)EmAm×n=Am×nAm×nEn=Am×n 方陣的方冪

A0=E AkAl=Ak+l (Ak)l=Akl

? 因為矩陣乘法不滿足交換律,所以對于n階方陣A和B,有以下重要結論 (1)(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2?AB=BA (2)(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2=A2-B2?AB=BA (3)當AB=BA時,必有(AB)k=AkBk

(4)當A=B時,在滿足可乘條件下必可推出AC=BC,CA=CB,但未必有AC=CB,CA=BC(同方向相乘可以) ? 因為矩陣乘法不滿足消去律,所以對于n階方陣A和B,有以下重要結論 (1)由AB=O,A≠O不能推出B=O (2)A2=O,不能推出A=O

(3)由AB=AC,A≠O不能推出B=C

(4)由A2=B2不能推出(A+B)(A-B)=O和A=±B 2.2.5 矩陣的轉置

定義2.2.5把矩陣的行與列互換得到的n×m矩陣,稱為矩陣A的轉置矩陣,記作AT 轉置運算律 (1)(AT)T=A (2)(A+B)T=AT+BT (3)(KA)T=KAT,k為實數





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